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Author: nisha617

lectures/hoist_failure.md

@@ -19,27 +19,24 @@ kernelspec:
 
 本讲将运用基本工具来近似计算由多个关键部件组成的系统的年度故障率的概率分布。
 
-我们将使用对数正态分布来近似关键组件部件的概率分布。
+我们将使用对数正态分布来近似关键部件的概率分布。
 
-为了近似描述整个系统故障率的n个对数正态概率分布之**和**的概率分布，我们将计算这n个对数正态概率分布的卷积。
+为了近似描述整个系统故障率的 $n$ 个对数正态概率分布之**和**的概率分布，我们将计算这 $n$ 个对数正态概率分布的卷积。
 
 我们将使用以下概念和工具：
 
 * 对数正态分布
 * 描述独立随机变量之和的概率分布的卷积定理
-
 * 用于近似多组件系统故障率的故障树分析
 * 用于描述不确定概率的层次概率模型
-* 傅里叶变换和逆傅里叶变换作为计算序列卷积的高效方法
+* 傅里叶变换和傅里叶逆变换作为计算序列卷积的高效方法
 
 关于傅里叶变换的更多信息，请参见这个 quantecon 讲座 [循环矩阵](https://python.quantecon.org/eig_circulant.html)
 以及这些讲座 [协方差平稳过程](https://python-advanced.quantecon.org/arma.html) 和 [谱估计](https://python-advanced.quantecon.org/estspec.html)。
 
 El-Shanawany, Ardron 和 Walker {cite}`Ardron_2018` 以及 Greenfield 和 Sargent {cite}`Greenfield_Sargent_1993` 使用了这里描述的一些方法来近似核设施安全系统的故障概率。
 
-这些方法响应了 Apostolakis {cite}`apostolakis1990` 提出的关于构建量化程序的一些建议。
-
-对安全系统可靠性的不确定性。
+这些方法响应了 Apostolakis {cite}`apostolakis1990` 提出的关于构建用于量化安全系统可靠性的不确定性的程序的一些建议。
 
 我们先引入一些Python工具。
 
@@ -77,7 +74,7 @@ np.set_printoptions(precision=3, suppress=True)
 
  * $\mu$ 和 $\sigma^2$ 是 $x = \exp (y)$ 的均值和方差
  * 它们**不是** $y$ 的均值和方差
- * 相反，$y$ 的均值是 $e ^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2}$，$y$ 的方差是 $(e^{\sigma^2} - 1) e^{2 \mu + \sigma^2} $
+ * 相反，$y$ 的均值是 $e ^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2}$，方差是 $(e^{\sigma^2} - 1) e^{2 \mu + \sigma^2} $
 
 对数正态随机变量 $y$ 是非负的。
 
@@ -92,7 +89,6 @@ $$ f(y) = \frac{1}{y \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(  \frac{- (\log y - \mu)^2
 $$
 \begin{aligned}
  \textrm{均值:} & \quad e ^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} \cr
-
 \textrm{方差:}  & \quad (e^{\sigma^2} - 1) e^{2 \mu + \sigma^2} \cr
   \textrm{中位数:} & \quad e^\mu \cr
  \textrm{众数:} & \quad e^{\mu - \sigma^2} \cr
@@ -102,19 +98,18 @@ $$
 $$
 
 
-回顾两个独立正态分布随机变量的以下_稳定性_性质：
+回顾两个独立正态分布随机变量的以下*稳定性*性质：
 
-如果$x_1$是均值为$\mu_1$、方差为$\sigma_1^2$的正态分布，且$x_2$独立于$x_1$并且是均值为$\mu_2$、方差为$\sigma_2^2$的正态分布，那么$x_1 + x_2$是均值为$\mu_1 + \mu_2$、方差为$\sigma_1^2 + \sigma_2^2$的正态分布。
+如果 $x_1$ 是均值为 $\mu_1$、方差为 $\sigma_1^2$ 的正态分布，且 $x_2$ 独立于 $x_1$ 并且是均值为$\mu_2$、方差为 $\sigma_2^2$ 的正态分布，那么 $x_1 + x_2$ 是均值为 $\mu_1 + \mu_2$、方差为 $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$ 的正态分布。
 
 
-独立的对数正态分布具有不同的_稳定性_性质。
+独立的对数正态分布具有不同的*稳定性*性质。
 
 独立对数正态随机变量的**乘积**也是对数正态分布。
 
 
-特别地，如果$y_1$是参数为$(\mu_1, \sigma_1^2)$的对数正态分布，且
-
-$y_2$ 是对数正态分布，参数为 $(\mu_2, \sigma_2^2)$，那么乘积 $y_1 y_2$ 也是对数正态分布，其参数为 $(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。
+特别地，如果 $y_1$ 是参数为 $(\mu_1, \sigma_1^2)$ 的对数正态分布，且
+$y_2$ 是参数为 $(\mu_2, \sigma_2^2)$ 的对数正态分布，那么乘积 $y_1 y_2$ 也是对数正态分布，其参数为 $(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。
 
 ```{note}
 虽然两个对数正态分布的乘积是对数正态分布，但两个对数正态分布的**和**却**不是**对数正态分布。
@@ -144,7 +139,7 @@ $$ h(z) = (f * g)(z) \equiv \int_{0}^\infty f (z) g(z - \tau) d \tau $$
 
 下面，我们将使用上述公式的离散化版本。
 
-具体来说，我们将把 $f$ 和 $g$ 都替换为离散化的对应形式，并归一化使其和为1，这样它们就是概率分布。
+具体来说，我们将把 $f$ 和 $g$ 都替换为离散化的对应形式，并归一化使其和为 $1$，这样它们就是概率分布。
 
   * **离散化**指的是等间隔采样的版本
 
@@ -253,15 +248,15 @@ def pdf_seq(μ,σ,I,m):
 ```
 
 <!-- #region -->
-现在我们要为我们的离散化设置一个网格长度$I$和网格增量大小$m =1$。
+现在我们要为我们的离散化设置一个网格长度 $I$ 和网格增量大小 $m =1$。
 
 ```{note}
-我们将$I$设置为2的幂，因为我们希望能够自由使用快速傅里叶变换来计算两个序列（离散分布）的卷积。
+我们将 $I$ 设置为 $2$ 的幂，因为我们希望能够自由使用快速傅里叶变换来计算两个序列（离散分布）的卷积。
 ```
 
-我们建议尝试2的不同幂值$p$。
+我们建议尝试 $2$ 的不同幂值 $p$。
 
-例如，将其设置为15而不是12，可以改善离散化概率质量函数对所研究的原始连续概率密度函数的近似程度。
+例如，将其设置为 $15$ 而不是 $12$，可以改善离散化概率质量函数对所研究的原始连续概率密度函数的近似程度。
 
 <!-- #endregion -->
 
@@ -299,29 +294,29 @@ mean, meantheory
 
 ## 概率质量函数的卷积
 
-现在让我们使用卷积定理来计算上面参数化的两个对数正态随机变量之和的概率分布。
+现在我们使用卷积定理来计算上面参数化的两个对数正态随机变量之和的概率分布。
 
 我们还将计算上面构造的三个对数正态分布之和的概率。
 
 在进行这些计算之前，我们需要解释我们选择的用于计算两个序列卷积的Python算法。
 
-由于要进行卷积的序列很长，我们使用`scipy.signal.fftconvolve`函数而不是numpy.convolve函数。
+由于要进行卷积的序列很长，我们使用`scipy.signal.fftconvolve`函数而不是`numpy.convolve`函数。
 
 这两个函数给出的结果实际上是等价的，但对于长序列来说，`scipy.signal.fftconvolve`要快得多。
 
 程序`scipy.signal.fftconvolve`使用快速傅里叶变换及其逆变换来计算卷积。
 
-让我们定义傅里叶变换和逆傅里叶变换。
+让我们定义傅里叶变换和傅里叶逆变换。
 
-序列$\{x_t\}_{t=0}^{T-1}$的**傅里叶变换**是一个复数序列$\{x(\omega_j)\}_{j=0}^{T-1}$，由下式给出：
+序列 $\{x_t\}_{t=0}^{T-1}$ 的**傅里叶变换**是一个复数序列 $\{x(\omega_j)\}_{j=0}^{T-1}$，由下式给出：
 
 $$
  x(\omega_j) = \sum_{t=0}^{T-1} x_t \exp(- i \omega_j t)
 $$ (eq:ft1)
 
 其中 $\omega_j = \frac{2 \pi j}{T}$，$j=0, 1, \ldots, T-1$。
 
-序列 $\{x(\omega_j)\}_{j=0}^{T-1}$ 的**逆傅里叶变换**为
+序列 $\{x(\omega_j)\}_{j=0}^{T-1}$ 的**傅里叶逆变换**为
 
 $$
  x_t = T^{-1} \sum_{j=0}^{T-1} x(\omega_j) \exp (i \omega_j t)
@@ -335,9 +330,9 @@ $$ (eq:ift1)
 
 - 计算序列 $\{f_k\}$ 和 $\{g_k\}$ 的傅里叶变换 $F(\omega)$、$G(\omega)$
 - 形成乘积 $H (\omega) = F(\omega) G (\omega)$
-- 卷积 $f * g$ 是 $H(\omega)$ 的逆傅里叶变换
+- 卷积 $f * g$ 是 $H(\omega)$ 的傅里叶逆变换
 
-**快速傅里叶变换**和相关的**逆快速傅里叶变换**能够非常快速地执行这些计算。
+**快速傅里叶变换**和相关的**快速傅里叶逆变换**能够非常快速地执行这些计算。
 
 这就是 `scipy.signal.fftconvolve` 使用的算法。
 
@@ -427,11 +422,11 @@ mean, 3*meantheory
 
 在应用卷积定理之前，我们首先描述将组成事件与我们要量化其故障率的**顶端**事件连接起来的模型。
 
-该模型是El-Shanawany、Ardron和Walker {cite}`Ardron_2018`所描述的广泛使用的**故障树分析**的一个例子。
+该模型是广泛使用的、El-Shanawany、Ardron和Walker {cite}`Ardron_2018`所描述的**故障树分析**的一个例子。
 
 为了构建统计模型，我们反复使用所谓的**稀有事件近似**。
 
-我们想要计算事件$A \cup B$的概率。
+假设我们要计算事件$A \cup B$的概率。
 
 * 并集$A \cup B$是事件$A$或$B$发生的情况
 
@@ -494,22 +489,22 @@ $$ (eq:probtop)
 
   * $P(F)$ 的隐含概率分布的离散程度表征了分析师对系统失效概率的不确定性
 
-这导致了有时被称为**层次化**模型，其中分析师对概率$P(A_i)$本身也有概率估计。
+这就是所谓的**层次化**模型，其中分析师对概率$P(A_i)$本身也有概率估计。
 
 分析师通过以下假设来形式化他的不确定性：
 
-* 失效概率$P(A_i)$本身是一个对数正态随机变量，其参数为$(\mu_i, \sigma_i)$。
-* 对于所有$i \neq j$的配对，失效率$P(A_i)$和$P(A_j)$在统计上是相互独立的。
+* 失效概率 $P(A_i)$ 本身是一个对数正态随机变量，其参数为 $(\mu_i, \sigma_i)$。
+* 对于所有 $i \neq j$ 的配对，失效率 $P(A_i)$ 和 $P(A_j)$ 在统计上是相互独立的。
 
-分析师通过阅读工程论文中的可靠性研究来校准失效事件$i = 1, \ldots, n$的参数$(\mu_i, \sigma_i)$，这些研究考察了与系统中使用的组件尽可能相似的组件的历史失效率。
+分析师通过阅读工程论文中的可靠性研究来校准失效事件 $i = 1, \ldots, n$的参数$(\mu_i, \sigma_i)$，这些研究考察了与系统中使用的组件尽可能相似的组件的历史失效率。
 
 分析师假设，这些关于年度失效率或失效时间的观测分散性的信息，可以帮助他预测零件在其系统中的性能表现。
 
 分析师假设随机变量 $P(A_i)$ 在统计上是相互独立的。
 
 分析师想要近似系统失效概率 $P(F)$ 的概率质量函数和累积分布函数。
 
-  * 我们说概率质量函数是因为我们之前描述的对每个随机变量的离散化方式。
+  * 我们说概率质量函数是因为我们对每个随机变量进行了离散化，正如前文描述的那样。
 
 分析师通过重复应用卷积定理来计算**顶事件** $F$（即**系统失效**）的概率质量函数，以计算独立对数正态随机变量之和的概率分布，如方程 {eq}`eq:probtop` 所述。
 
@@ -523,11 +518,11 @@ $$ (eq:probtop)
 
 这个例子是{cite}`Greenfield_Sargent_1993`第27页表10中描述的设计方案B-2（案例I）。
 
-该表描述了十四个对数正态随机变量的参数$\mu_i, \sigma_i$，这些随机变量由**七对**独立同分布的随机变量组成。
+该表描述了十四个对数正态随机变量的参数 $\mu_i, \sigma_i$，这些随机变量由**七对**独立同分布的随机变量组成。
 
 * 在每一对内，参数$\mu_i, \sigma_i$是相同的
 
-* 如{cite}`Greenfield_Sargent_1993`第27页表10所述，七个唯一概率$P(A_i)$的对数正态分布参数已被校准为以下Python代码中的值：
+* 如{cite}`Greenfield_Sargent_1993`第27页表10所述，七个唯一概率 $P(A_i)$ 的对数正态分布参数已被校准为以下Python代码中的值：
 
 ```{code-cell} ipython3
 mu1, sigma1 = 4.28, 1.1947