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Author: nisha617

lectures/von_neumann_model.md

@@ -344,17 +344,20 @@ $a_{\cdot j}$ 和 $a_{i\cdot}$ 分别表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 列和第 $i$ 
 
 两个关键假设限制经济 $(A,B)$：
 
-- **假设 I：**（每种被消费的商品也都被生产）
+````{prf:assumption} 每种被消费的商品也都被生产。
+:label: assumption1
 
-  $$
+```{math}
   b_{.,j} > \mathbf{0}\hspace{5mm}\forall j=1,2,\dots,n
-  $$
-
-- **假设 II：**（没有免费午餐）
+```
+````
 
-  $$
+````{prf:assumption} 没有免费午餐
+:label: assumption2
+```{math}
   a_{i,.} > \mathbf{0}\hspace{5mm}\forall i=1,2,\dots,m
-  $$
+```
+````
 
 半正*强度* $m$ 维向量 $x$ 表示活动的运行水平。
 
@@ -374,11 +377,13 @@ $a_{\cdot j}$ 和 $a_{i\cdot}$ 分别表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 列和第 $i$ 
 
 投入-产出对 $(A,B)$ 的一个性质被称为**不可约性**（或不可分解性，irreducibility），它决定了一个经济系统能否被分解为多个“子经济体”。
 
-**定义：** 对于经济体 $(A,B)$，如果存在商品的一个子集 $S \subset \{1,2,\dots,n\}$，在不消耗集合 $S$ 以外商品的情况下就可以生产 $S$ 中的每种商品，那么称 $S$ 是一个*独立子集*。
+```{prf:definition}
+对于经济体 $(A,B)$，如果存在商品的一个子集 $S \subset \{1,2,\dots,n\}$，在不消耗集合 $S$ 以外商品的情况下就可以生产 $S$ 中的每种商品，那么称 $S$ 是一个*独立子集*。
 
 形式上，如果集合 $S$ 满足以下条件，则称其为独立的：$\exists T\subset \{1,2,\dots,m\}$（活动的一个子集），使得对于所有 $i\in T$ 和 $j\in S^c$，有 $a_{i,j}=0$，且对于所有 $j\in S$，$\exists i\in T$ 使得 $b_{i,j}>0$。
 
 如果不存在真独立子集，则称该经济是**不可约的**。
+```
 
 我们研究两个例子，都来自Gale的著作第9.6章 {cite}`gale1989theory`
 
@@ -484,57 +489,63 @@ $$
 
 经济系统的技术特征和价值特征之间存在一个值得注意的的对偶关系，将下面两个问题联系在一起：
 
-**定义：** 经济体 $(A,B)$ 的**技术扩张问题**（technological expansion problem, TEP）是找到一个半正 $m$ 维向量 $x>0$ 和一个实数 $\alpha\in\mathbb{R}$，使其满足
+```{prf:definition}
+经济体 $(A,B)$ 的**技术扩张问题**（technological expansion problem, TEP）是找到一个半正 $m$ 维向量 $x>0$ 和一个实数 $\alpha\in\mathbb{R}$，使其满足
 
 $$
 \begin{aligned}
     &\max_{\alpha} \hspace{2mm} \alpha\\
-    &\text{s.t. }\hspace{2mm}x^T B \geq \alpha x^T A
+    &\text{s.t. }\hspace{2mm}x^\top B \geq \alpha x^\top A
     \end{aligned}
 $$
+```
 
 David Gale的著作中的定理9.3 {cite}`gale1989theory`指出，如果假设I和II都满足，那么$\alpha$的最大值存在且为正数。
 
 这个最大值被称为*技术扩张率*，用$\alpha_0$表示。相应的强度向量$x_0$被称为*最优强度向量*。
 
-**定义：** $(A,B)$的经济扩张问题（economic expansion problem, EEP）是要找到一个半正 $n$ 维向量 $p>0$ 和一个实数 $\beta\in\mathbb{R}$，使其满足
+```{prf:definition}
+$(A,B)$ 的经济扩张问题（economic expansion problem, EEP）是要找到一个半正 $n$ 维向量 $p>0$ 和一个实数 $\beta\in\mathbb{R}$，使其满足
 
 $$
 \begin{aligned}
     &\min_{\beta} \hspace{2mm} \beta\\
     &\text{s.t. }\hspace{2mm}Bp \leq \beta Ap
-    \end{aligned}
+\end{aligned}
 $$
+```
 
-假设I和II意味着存在一个最小值$\beta_0>0$，称为*经济扩张率*。
+{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`意味着存在一个最小值 $\beta_0>0$，称为*经济扩张率*。
 
 相应的价格向量$p_0$是*最优价格向量*。
 
 由于*技术扩张*问题和*经济扩张问题*中的目标函数都是线性齐次的，$x_0$ 和 $p_0$ 的最优性仅由一个正的比例因子来定义。
 
 为了方便（并强调与零和博弈的密切联系），我们将向量 $x_0$ 和 $p_0$ 都归一化为单位长度。
 
-标准对偶性论证（参见 (Gale, 1960) {cite}`gale1989theory` 中的引理9.4）表明，在假设I和II下，$\beta_0\leq \alpha_0$。
+标准对偶性论证（参见 (Gale, 1960) {cite}`gale1989theory` 中的引理9.4）表明，在{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`下，$\beta_0\leq \alpha_0$。
 
-但要推导出 $\beta_0\geq \alpha_0$，假设I和II是不够的。
+但要推导出 $\beta_0\geq \alpha_0$，{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`是不够的。
 
 因此，冯·诺依曼 {cite}`von1937uber` 继续证明了以下连接TEP和EEP的重要“对偶性”结果。
 
-**定理1（冯·诺依曼）：** 如果经济体 $(A,B)$ 满足假设I和II，则存在 $\left(\gamma^{*}, x_0, p_0\right)$，其中 $\gamma^{*}\in[\beta_0, \alpha_0]\subset\mathbb{R}$，$x_0>0$ 是一个 $m$ 维向量，$p_0>0$ 是一个 $n$ 维向量，且以下套利关系成立
+```{prf:theorem} 冯·诺依曼
+:label: theorem1
+
+如果经济体 $(A,B)$ 满足{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`，则存在 $\left(\gamma^{*}, x_0, p_0\right)$，其中 $\gamma^{*}\in[\beta_0, \alpha_0]\subset\mathbb{R}$，$x_0>0$ 是一个 $m$ 维向量，$p_0>0$ 是一个 $n$ 维向量，且以下套利关系成立
 
 $$
 \begin{aligned}
-x_0^T B &\geq \gamma^{* } x_0^T A \\
+x_0^\top B &\geq \gamma^{* } x_0^\top A \\
 Bp_0 &\leq \gamma^{* } Ap_0 \\
-x_0^T\left(B-\gamma^{* } A\right)p_0 &= 0
-
+x_0^\top \left(B-\gamma^{* } A\right)p_0 &= 0
 \end{aligned}
 $$
+```
 
-```{note}
-证明（概要）：
+```{prf:proof}（概要）
 
-假设I和II意味着存在 $(\alpha_0, x_0)$ 和 $(\beta_0, p_0)$ 分别解决TEP和EEP。
+{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`意味着存在 $(\alpha_0, x_0)$ 和 $(\beta_0, p_0)$ 分别解决TEP和EEP。
 
 如果 $\gamma^*>\alpha_0$，根据 $\alpha_0$ 的定义，不可能存在半正向量 $x$ 满足$x^T B \geq \gamma^{* } x^T A$。
 
@@ -549,11 +560,11 @@ $$
 
 此外，等式$x_0^T\left(B-\gamma^{* } A\right)p_0 = 0$简洁地表达了以下要求：如果任何商品的增长率大于$\gamma^{*}$（即*供过于求*），那么其价格必须为零；如果任何生产活动带来负利润，则该活动必须停止。
 
-因此，定理I中所述的条件包含了所有均衡条件。
+因此，{prf:ref}`theorem1`中所述的条件包含了所有均衡条件。
 
-所以定理I本质上表明，在假设I和II下，总是存在具有平衡增长的均衡 $\left(\gamma^{*}, x_0, p_0\right)$。
+所以{prf:ref}`theorem1`本质上表明，在{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`下，总是存在具有平衡增长的均衡 $\left(\gamma^{*}, x_0, p_0\right)$。
 
-注意，定理I并未说明均衡的唯一性。事实上，它并不排除 $x_0^TBp_0 = 0$ 的（平凡）情况，即没有产生任何有价值的产出。
+注意，{prf:ref}`theorem1`并未说明均衡的唯一性。事实上，它并不排除 $x_0^TBp_0 = 0$ 的（平凡）情况，即没有产生任何有价值的产出。
 
 为了排除这种无趣的情况，Kemeny、Morgenstern和Thompson {cite}`kemeny1956generalization`增加了一个额外要求
 
@@ -576,16 +587,18 @@ $$
 * 行玩家选择 $m$ 维向量 $x > \mathbf{0}$，满足 $\iota_m^T x = 1$
 * 列玩家选择 $n$ 维向量 $p > \mathbf{0}$，满足 $\iota_n^T p = 1$
 
-**定义：** $m\times n$ 矩阵博弈 $C$ 在混合策略中有*解* $(x^*, p^*, V(C))$，如果
+```{prf:definition}
+$m\times n$ 矩阵博弈 $C$ 在混合策略中有*解* $(x^*, p^*, V(C))$，如果
 
 $$
 \begin{aligned}
-(x^* )^T C e^j \geq V(C)\quad \forall j\in\{1, \dots, n\}\quad \quad
-\text{且}\quad\quad (e^i)^T C p^* \leq V(C)\quad \forall i\in\{1, \dots, m\}
+(x^* )^\top C e^j \geq V(C)\quad \forall j\in\{1, \dots, n\}\quad \quad
+\text{and}\quad\quad (e^i)^\top C p^* \leq V(C)\quad \forall i\in\{1, \dots, m\}
 \end{aligned}
 $$
 
 数值 $V(C)$ 被称为博弈的*值*。
+```
 
 从上述定义可以清楚地看出，值 $V(C)$ 有两种解释：
 
@@ -634,14 +647,13 @@ $$
 
 Hamburger、Thompson和Weil {cite}`hamburger1967computation` 将经济的投入产出对视为双人零和博弈的收益矩阵。
 
-使用这种解释，他们将假设I和II重述如下
+使用这种解释，他们将{prf:ref}`assumption1` 和 {prf:ref}`assumption2`重述如下
 
 $$
 V(-A) < 0\quad\quad \text{和}\quad\quad V(B)>0
 $$
 
-```{note}
-证明（概要）:
+```{prf:proof} （概要）
 * $\Rightarrow$ $V(B)>0$ 意味着$x_0^T B \gg \mathbf{0}$，其中 $x_0$ 是最大化向量。由于 $B$ 是非负的，这要求 $B$ 的每一列至少有一个正项，这就是假设I。
 * $\Leftarrow$ 从假设I和事实 $p>\mathbf{0}$ 可知，$Bp > \mathbf{0}$。这意味着最大化玩家总能选择 $x$
 使得 $x^TBp>0$，因此必然有$V(B)>0$。
@@ -664,7 +676,7 @@ $$
 - 如果 $\gamma < \beta_0$，那么对于所有 $p>0$，存在
   $i\in\{1, \dots, m\}$，使得
   $[M(\gamma)p]_i > 0$，这意味着 $V(M(\gamma)) > 0$。
-- 如果 $\gamma \in \{\beta_0, \alpha_0\}$，那么（根据定理I）最优强度和价格向量 $x_0$ 和 $p_0$
+- 如果 $\gamma \in \{\beta_0, \alpha_0\}$，那么（根据{prf:ref}`theorem1`）最优强度和价格向量 $x_0$ 和 $p_0$
   满足
 $$
 \begin{aligned}
@@ -684,9 +696,7 @@ $\gamma'\in(\beta_0, \alpha_0)$ 时博弈
 $M(\gamma')$ 中最大化玩家的最优策略且
 $p''$ 对于 $M(\gamma'')$ 中的最小化玩家来说是最优的，其中 $\gamma''\in(\beta_0, \gamma')$，那么 $(x', p'', 0)$ 对于所有 $\gamma\in (\gamma'', \gamma')$ 都是 $M(\gamma)$ 的解。
 
-```{note}
-*证明（概要）：* 如果 $x'$ 对于游戏 $M(\gamma')$ 中的最大化玩家是最优的，那么 $(x')^T M(\gamma')\geq \mathbf{0}^T$，因此对于所有 $\gamma<\gamma'$，
-```
+```{prf:proof}（概要）：如果 $x'$ 对于游戏 $M(\gamma')$ 中的最大化玩家是最优的，那么 $(x')^T M(\gamma')\geq \mathbf{0}^T$，因此对于所有 $\gamma<\gamma'$，
 
 $$
 (x')^T M(\gamma) = (x')^T M(\gamma') + (x')^T(\gamma' - \gamma)A \geq \mathbf{0}^T
@@ -699,6 +709,7 @@ M(\gamma)p'' = M(\gamma'') + (\gamma'' - \gamma)Ap'' \leq \mathbf{0}
 $$
 
 因此 $V(M(\gamma))\leq 0$。
+```
 
 从上述论证中可以清楚地看出，$\beta_0$、$\alpha_0$ 是使得 $V(M(\gamma))=0$ 的最小和最大的 $\gamma$ 值。
 
@@ -829,17 +840,23 @@ print(f'对偶问题得到的原问题解为 = {x}')
 
 以下定理（参见Gale {cite}`gale1989theory`中的定理9.10）断言，施加不可约性条件足以保证 $(\gamma^*, x_0, p_0)$ 的唯一性。
 
-**定理II：** 采用定理1的条件。如果经济体 $(A,B)$ 不可约，则 $\gamma^*=\alpha_0=\beta_0$。
+```{prf:theorem}
+:label: theorem2
+
+采用{prf:ref}`theorem1`的条件。如果经济体 $(A,B)$ 不可约，则 $\gamma^*=\alpha_0=\beta_0$。
+```
 
 ### 特殊情况
 
 有一种特殊的 $(A,B)$ 允许我们通过引用非负矩阵的 Perron-Frobenius 定理来显著简化求解方法。
 
-**定义：** 如果一个经济体满足以下条件，我们称之为*简单*的：
+```{prf:definition}
+如果一个经济体满足以下条件，我们称之为*简单*的：
 
 * $n=m$
 * 每个生产活动恰好生产一种商品
 * 每种商品恰好由一个生产活动生产
+```
 
 这些假设意味着 $B=I_n$，即 $B$ 可以写成单位矩阵（可能需要重新排列其行和列）。